Hilbert空间中最重要的定理个人认为是所谓的“正交分解定理”，或者“最佳逼近定理”.这个定理的证明本身就应用了变分法的思想，从它出发可以得到Riesz表示定理、Lax-Milgram定理及各种变形的Lax-Milgram定理，应用这些定理可以解决一些椭圆或者抛物型偏微分方程弱解的存在性问题，也可以解决某些变分不等式的相关问题。当然对于偏微分方程专家而言，一般解的存在性问题虽然有些繁琐，原则上都是比较简单的。
定理(正交分解定理) 设 H 是(实或者复)Hilbert空间, M 是 H 的闭子空间，则任一 x∈H ,存在唯一的 y∈M ,使得
（1）
‖x−y‖=infz∈M‖x−z‖.
（2） x−y⊥z,∀z∈M.
并且(1)和(2)是等价的.
证明：设 d=infz∈M‖x−z‖ ,显然 d∈R. 取极小化序列
‖x−zn‖→d(n→∞),由平行四边形法则
‖zn−zm‖2=2(‖x−zn‖2+‖x−zm‖2)−4‖x−zn+zm2‖2.从上式易得 (zn) 为Cauchy列，故收敛. 又 M 闭，得 zm→y∈M. 唯一性易证. 再论证 x−y⊥M.
设 f(t)=(x−y+tz,x−y+tz), 则 f′(0)=2Re(x−y,z)=0,∀z∈M. 用 iz∈M 代替得到 Im(x−y,z)=0. 因此 x−y⊥z,∀z∈M. 上述运算可逆，运用简单的微积分(2)可导出(1).
注1：当M为闭凸子集时，结论(1)仍然成立.
注2：这个定理可以推广到一致凸的Banach定理. 可以参考P.Lax 《Functional Analysis》.
特别地，当f∈H′, N(f) 是 H 的闭子空间，进一步地，可以证明dim(N(f)⊥)=1!
利用上述结论，很容易得到如下的Riesz表示定理
定理(Riesz表示定理) 设H为Hilbert空间， f∈H′, 则存在唯一的 ，yf∈H，使得
f(x)=(x,yf),∀x∈H.
下面应用Riesz表示定理解决Possion方程的弱解的存在性问题（这当然是老生常谈了，但初步显示了泛函分析工具的威力）.
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定义(弱解) 设 Ω⊆Rn 为有界区域， f∈L2(Ω), 称函数 u 是Possion方程的0-Dirichlet问题
{−Δu=fx∈Ω,u=0.x∈∂Ω.
的弱解,若 u∈H01(Ω) 且满足
∫Ω∇u⋅∇vdx=∫Ωfvdx,∀v∈H01(Ω).
由Poincare不等式知， ‖∇u‖L2(Ω) 是 H01(Ω) 的等价范数，因此 H01(Ω) 上可以定义内积
(u,v)H01=(∇u,∇v)L2(Ω).
当 f∈L2(Ω) 时， v↦∫Ωfvdx 是 H01(Ω) 上的有界线性泛函，由Riesz表示定理Possion方程的0-Dirichlet问题弱解的存在性. 记 u:=(−Δ)−1f, 则
‖u‖H01(Ω)=‖(−Δ)−1f‖H01(Ω)≤C‖f‖L2(Ω).
实际上，我们构造了一个有界线性算子 (−Δ)−1:L2(Ω)↦H01(Ω) .进一步，这个算子还是紧算子!因为
((−Δ)−1u,v)H01(Ω)=(f,v)L2(Ω)=(f,Iv)L2(Ω),∀v∈H01(Ω).
其中 I:H01(Ω)→L2(Ω), 由Rellich-Kondrachov紧嵌入定理知 I 为紧算子，从而其对偶算子 I∗=(−Δ)−1:L2(Ω)→H01(Ω), 也是紧算子！
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为了解决更一般的二阶线性椭圆方程的弱解的存在性，我们需要如下的Lax-Milgram定理.
定理(Lax-Milgram) 假设H是实Hilbert空间, a:H×H↦R, 是有界的强制的双线性型，这里强制性指的是 ∃δ>0, 满足 a(u,u)≥δ‖u‖2,∀u∈H. 则对任一 F∈H′, 存在唯一的 u∈H 满足
a(u,v)=F(v),∀v∈H.
证明：由Riesz表示定理, ∃!uF∈H, 满足
F(v)=(uF,v),∀v∈H.对于任一 u∈H, 易证 a(u,⋅):v↦a(u,v),∀v∈H. 为 H 上的有界线性泛函，因此 ∃Au∈H 使得
a(u,v)=(Au,v),∀v∈H.
由 a 的有界性，易证 A:H↦H 为有界线性算子，再由 a 的强制性得
‖Au‖⋅‖u‖≥(Au,u)≥δ‖u‖2,∀u∈H.这将导出 A 既是单射也是满射.单射是显然的. 证明满射分为两步.第一步证明 A(H)=A(H)¯ ,第二步证明 A(H)¯=H. 这里只给出第二步的证明. 任取 u∈A(H)⊥=A(H)¯⊥⊆H ,成立
δ‖u‖2≤(Au,u)=0⇒‖u‖=0.因此 ！∃！u∈H,s.t.Au=uF,(Au,v)=(uF,v)=F(v). 并且有如下范数估计
‖u‖H≤δ−1‖Au‖H=δ−1‖uF‖H=δ−1‖F‖H′.
定理(弱解的存在性)假设 Ω⊂Rn,f∈L2(Ω),aij=aji,bi,c∈L∞(Ω), 且
，Lu:=−∑i,j=1n∂j(aij(x)∂iu)+∑i=1nbi(x)∂iu+c(x)u，
满足一致椭圆条件，即 ∃θ>0使得∑i,j=1naij(x)ξiξj⩾θ|ξ|2,a.e.x∈Ω∀ξ∈Rn.则存在 γ>0, 对任意的 λ≥γ, 椭圆方程的0-Dirichlet问题
{Lu+λu=fx∈Ω,u=0,x∈∂Ω.
存在唯一的弱解 u∈H01(Ω). 这里弱解的定义指的是
∫Ω∑i,j=1naij(x)∂iu∂jv+∑i=1nbi(x)(∂iu)v+(c(x)+λ)uvdx=∫Ωfvdx,∀v∈H01(Ω).
证明：记 ，Bλ(u,v):=B(u,v)+λ(u,v)L2(Ω)，F(v)=∫Ωfvdx, ,其中
B(u,v):=∫Ω∑i,j=1naij(x)∂iu∂jv+∑i=1nbi(x)(∂iu)v+c(x)uvdx,∀u,v∈H01(Ω).
则显然 F∈H′,Bλ 为 H 上的双线性型，下证当 λ 满足一定条件时， Bλ 是有界的和强制的.由 aij=aji,bi,c∈L∞(Ω), 易证
|Bλ(u,v)|≤C‖u‖H01(Ω)‖v‖H01(Ω),∀u,v∈H01(Ω).这里 C 不依赖于 u,v. 又
|∫Ω∑i=1nbi(x)(∂iu)udx|⩽C1‖∇u‖L2(Ω)‖u‖L2(Ω)⩽θ2‖∇u‖L2(Ω)2+C2‖u‖L2(Ω)2.
|∫Ωc(x)u2dx|⩽C3‖u‖L2(Ω)2.结合 L 的一致椭圆性和Poincare不等式，我们得到
Bλ(u,u)≥θ2‖∇u‖L2(Ω)2+(λ−C2−C3)‖u‖L2(Ω)2≥δθ,P‖u‖H01(Ω)2.其中 δθ,P,C2,C3 仅依赖于 θ,aij,bi,c 和 Poincare不等式里的系数.利用Lax-Milgram定理便得结论，并且记
u=(L+λI)−1f,
则 (L+λI)−1:L2(Ω)↦H01(Ω) 为有界线性算子，即
‖u‖H01(Ω)≤C‖f‖L2(Ω),∀f∈L2(Ω).
注1：当 f∈H−1 时，上述结论仍然成立.
注2：对于其他类型的边值条件，例如Neumann边值条件，处理方法大同小异，无非是工作空间稍有变化。
注3：并非所有的线性椭圆方程都存在弱解.
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对于一般的二阶线性椭圆方程
Lu=f,f∈L2(Ω)的0-Dirichlet问题，我们有如下的Fredholm二择一定理
定理（弱解的存在性）要么 Lu=f 存在弱解 u∈H01(Ω) ;要么 Lu=0 存在非零解.
证明：显然方程等价于
Lu=f⇔Lu+λu=f+λu⇔u−λAλu=Aλf其中 Aλ=(L+λI)−1. 当 λ 充分大时,上式中的每一项都是well-defined.并且 Aλf∈H01(Ω). 只要证明了 Aλ:H01(Ω)→H01(Ω) 为紧线性算子，应用Fredholm理论我们便完成了证明.由Rellich-Kondrachov紧嵌入定理知
I:H01(Ω)→L2(Ω)
是紧算子，而 Aλ:L2(Ω)→H01(Ω) 为有界线性算子，因此 Aλ=Aλ∘I 为 H01(Ω)→H01(Ω) 的紧线性算子.
注1：再加上线性椭圆方程弱解的正则性理论，实际上，我们就完成了线性椭圆型方程的 L2 理论.
注2：二阶线性抛物型方程的弱解的存在性定理，除了使用变形的Lax-Milgram定理外，还可以使用Rothe方法（半差方法）、Galerkin方法，后两种方法都依赖于椭圆方程的结论。具体可参考伍卓群、尹景学、王春鹏《椭圆与抛物型方程引论》第3章.
我们在这里不加证明的陈述弱解的正则性理论.
定理（弱解的全局正则性I）：设 f∈L2(Ω),u∈H01(Ω) 为Possion方程的0-Dirichlet问题的弱解，若 ∂Ω∈C2, 则 u∈H2(Ω) ,且有估计式
‖u‖H2(Ω)≤C(‖u‖H1(Ω)+‖f‖L2(Ω)).
其中 C 仅依赖于 n,Ω.
证明思路：先做内估计(需要作截断)，再做边界估计（采用边界拉平技术），最后用有限覆盖定理和单位分解定理得到全局估计.
定理（弱解的全局正则性II）：设 f∈Hk(Ω),u∈H01(Ω) 为Possion方程的0-Dirichlet问题的弱解，若 ∂Ω∈Ck+2, 则 u∈Hk+2(Ω) ,且有估计式
‖u‖Hk+2(Ω)≤C(‖u‖H1(Ω)+‖f‖Hk(Ω)).
其中 C 仅依赖于 n,Ω.
利用Morrey不等式，我们得到如下结论“ f 足够好时，弱解成为经典解”。
定理：设 u∈H01(Ω) 为Possion方程的0-Dirichlet问题的弱解，若 ∂Ω∈C∞,f∈C∞(Ω¯), 则 u∈C∞(Ω¯).
排版不好，请看原版：Riesz表示定理、Lax-Milgram定理及二阶线性椭圆方程弱解的存在性定理